为什么我们要学数学？

文 | 胡嘉宁

学院君说：关于数学学习，过去我们曾经分享过许多文章，其中就包括一个爸爸向孩子解释关于学习数学的一些问题,今天我们分享的是一个年仅16岁的高中生，他眼中对于数学学习的理解，希望对大家有所启发。

*本文均为他本人所写，未做删减。

如果有人不相信数学是简单的,那是因为他们没有意识到人生有多复杂。

——冯•诺依曼

著名数学家、物理学家

诺贝尔为什么没有数学奖？

诺贝尔曾有一个比他小13岁的女友，后来他的女友和一个数学家私奔了，诺贝尔对此事一直耿耿于怀，后来一生未曾结婚，所以不设数学奖。——这只是个传闻。

真正的原因是：在诺贝尔那个时代，数学还不是主要的学科，数学还没有得到重大的发展。

1950年，纳什在28页的博士论文中提出一个重要概念：“纳什均衡”，成为博弈论的重要突破。1994年，他和其他两位博弈论学家共同获得了诺贝尔经济学奖。

纳什最重要的数学成就是在微分几何和偏微分方程的领域，一位著名几何学家评价到：“他在几何学所做的，从我看来，比起他在经济学所做的无可比拟地伟大得多，相差很多个数量级。”

诺贝尔经济学奖从1969年至2010年，共34届,获奖者51人，除了哈耶克，几乎全都用到了数学工具；一半以上获奖者有深厚数学功底，还有少数本身就是数学家。

大部分诺贝尔物理学奖、化学奖、医学奖得主也有着数学功底。

现在数学被称为“科学之王”。

学校里的大部分数学知识

其实都没有用

首先我们得承认，我们在学校里学到的大部分数学知识，其实都是没有用的。回想一下你的生活，你买菜的时候真的用上一元二次方程了吗？你这辈子有几次用到了余切函数和微积分呢？

我国的数学教学方法也有很大的问题。如陈方正在《继承与叛逆：现代科学为何出现于西方》中所言：

中国与西方数学的根本差别，即前者只重程序（即所谓‘法’），而不讲究直接、详细、明确的证明（即所谓‘义’）

杂志《新科学家》中有一句话：

Mathematics is a discovery rather than an invention

数学不是发明而是发现

数学家恽之玮在一次采访中说：

奥数的答案是知道的，数学科研的答案是不知道的，是探索的过程。真正的数学并不是在规定的时间快速给出答案。

2005年，温家宝总理在看望钱学森的时候，钱老感慨说：“这么多年培养的学生，还没有哪一个的学术成就，能够跟民国时期培养的大师相比。”钱老又发问：“为什么我们的学校总是培养不出杰出的人才？”

被认作中国十大国际友人的英国人李约瑟，他所提出的“李约瑟难题”，从开始至现在，由中国到世界，都充满了争论。其主题是：“尽管中国古代对人类科技发展做出了很多重要贡献，但为什么科学和工业革命没有在近代的中国发生？”

钱学森之问与李约瑟难题一脉相承，都是对中国科学的关怀。

学了也用不到

为什么要学数学呢

数学是一种语言，数学符号于数学家就相当于代码于程序员。

伦敦大学的计算神经科学家和物理学家卡尔•弗里斯顿说：

数学具备简洁、直接和齐整的特性，所以如果你把它看作一种语言的话，它比其他任何语言都更适合用来描述这个世界。

从海豚到菌类生物，在进化的过程中，都在用数学的方式理解这个世界，解读它的规则和逻辑，以便自己能够存活下来。

数学家斯坦尼斯拉斯•德阿纳，做了一个实验，他邀请15个职业数学家和15个非数学领域的学者，边思考问题，边接受脑部扫描，然后他发现，当数学们思考数学问题的时候，他们脑部的某些区域是有特殊连接的。

也就是说，数学家一旦学会了数学的符号语言之后，就不会用普通的语言去思考数学问题了。

举个简单的例子：老板对你说：“你这周迟到很多！”，你心里肯定想：妈的，我这周就迟到3次，哪有很多呀，小张也迟到3次呀！

“很多”和“3”，定性和定量的分野。普通人眼里的机会，在数学眼里是概率。

这里所谓的“语言”只是个类比，哈佛认知科学家戴维•帕金斯称其为思维程序（Mindware），Kenneth Craik称其为心智模式（Mental Model），查理芒格称其为思维模型（Thinking Model）

而我们大部分人的工作与数学无关，所以什么样的数学知识可以帮助我们呢？

数学知识的四个象限

著名数学家乔丹•艾伦伯格把数学知识分成了四个象限：

1、在简单-浅显这个象限，我们有1+2=3这样比较基础的算术题，内容也不那么深奥。还比如三角函数sin2x=2sinxcosx，这些数学知识看起来复杂，但它们在概念上并没有多大的理解难度。

2、在复杂-浅显这个象限，我们有两位数的乘法、复杂定积分的运算。如果有了计算机，你其实并不需要耗费时间计算那么多位乘法运算，我们在学校要花费大量的时间学习解题技巧，其实对于理解数学的美并没有帮助。

相反可能还让我们对数学倒了胃口。即使解决了这些问题，我们也不会因此更加了解我们所在的这个世界。

2、在复杂-深奥这个象限，则是专业从事数学研究的人需要投入大量时间的地方。这里有众多大名鼎鼎的定理和猜想，黎曼假设，费马大定理，庞加莱猜想，哥德尔定理等。

这些定理内涵丰富，具有重要的意义，表现出令人窒息的美感，这些定理残酷无情又无懈可击，人们围绕他们写就了一本本专著。我等普通人可能只能在门口瞄一眼，里面的世界我们根本不清楚。

前三个象限的数学知识对我们来说或者太容易，或者太难，或者太繁琐，都不需要我们特别留意。

最值得学习的是简单-深奥这个象限的数学知识。这些知识都是入门的知识，但却违反了我们的直觉，需要我们更缜密的推理，如对随机性的理解、对回归4的理解等。

这些数学思想都与我们的生活产生直接联系，为我们带来益处，其应用将远远突破我们的数学的既有理解，它们是常备工具，只要应用得当，就可以避免我们犯错。

吴军博士在《数学之美》中这样描述：

牛顿曾经说过，“真理在形式上从来都是简单的，而不是复杂和含混不清的”，数学之美也体现在这里。如果你能拿数学工具来解决问题，那么不管你的方法多复杂，这里面的基本思想都应格是简单的。

查理芒格也说过：

最好且最实用的智慧是最基本的学术智慧，但有一个相当重要的前提：必须从多元学科的角度来思考。

在生活中应时常运用大学一年级基础学科中所有易学好懂的概念，如果达到自如运用的境界，就能提出解决问题的多种方法。

数学是认识世界的思考工具

克劳塞维茨说过：“数学就是常识的衍生物。”

数学如果脱离了常识的帮助，就变成了循规蹈矩地生搬书本知识，不会产生任何有益的结果。

正如1947年冯·诺依曼在他的论文《数学家》（The Mathematician）中发出的警告：

如果数学这门学科逐步偏离现实生活的经验，并且渐行渐远，以至于第二代和第三代数学人无法在“现实生活”中萌生某种想法并直接受到启迪，那么我们将面非常严重的威胁。

它会在唯美的道路上越走越远，演变成“为了艺术而艺术”，如果周围的相关学科仍然与经验有着密切的联系，或者某位鉴赏能力超强的人可以对数学产生影响，那么发生这种情况未必是件坏事。

但是数学这种发展势头几乎没有受到任何阻力，而且在偏离经验的过程中，分解成多个不起眼的分支，最终局面有可能是变得支离破碎、杂乱无章，这相当危险。

换句话说，在远离经验的哺乳，或者说“抽象研究”大量“近亲繁殖”之后，数学将面临堕落的危险。

很多人恐惧数学是因为被学校的那些数学题打蒙了。但不要把应试数学和应用数学思想混为一谈，在真实世界中，用数学思想思考问题，绝大多数情况下用不到复杂的计算技能。

就认识世界而言，数学应是一个思考工具，表达工具，而不是计算工具。

如保罗·洛克哈特在《一个数学家的叹息》中所言：

数学的本质是表达的艺术。数学是在我们并不完美的生活基础上，一种抽象的完美的表达方式，而我们在不完美的世界中，想要应用数学公式时发现对不上号，便不会去用了。

伯特兰·罗素在《数学研究》中说:

学习数学的精髓时，不能只抱着应付差事的心理，而应该把这些知识融入日常思维，并通过各种激励手段，使它们反复出现在你的脑海里。

亚伯拉罕•瓦尔德(Abraham Wald)的一个故事能精彩地演绎这个过程：

在第二次世界大战期间，美国军方在哥伦比亚大学建立了一个秘密研究小组，叫统计研究小组，它的任务是组织美国的统计学家为打赢二战服务。小组中牛人无数，但是天赋最高是一位叫亚伯拉罕•瓦尔德的数学家。

这时候问题来了，美国军方为了不让自己的飞机被敌人的战斗机击落，需要给飞机装上装甲。但是装甲会增加飞机的重量，这样飞机的机动性就会减弱，还会消耗更多的燃油。所以，问题就是，怎样在防御性能和飞行性能之间找一个平衡点，在哪里加强装甲防护是最合适的。

军方为数学家提供了很多数据，美军飞机跟敌机交火后会留下很多弹孔。军方发现机身上的弹孔比引擎上的弹孔更多。因此，军方认为，最应该加强防御的是飞机的机身。

瓦尔德给出的答案与军方的想法大不一样。瓦尔德认为，需要加装甲的地方不应该是弹孔多的部位，而是弹孔少的部位，也就是飞机的引擎。

为什么会是这样的呢？从理论上讲，飞机各个部位中弹的概率是一样的。那么为什么返航的飞机身上的弹孔比引擎上的弹孔更多呢？也就是说，引擎上本来应该有的弹孔去哪儿了？

瓦尔德认为，这是因为引擎被击中的飞机都坠毁了，回来的飞机，机身上尽管留下了很多弹孔，却仍然能经住打击，所以才能安全回航。

数学家将其称之为“幸存者偏差”，也就是说，你只看到幸存下来的，却没有看到那些已经死亡的。

瓦尔德运用这些简单-深奥的数学知识，就像戴上一副X射线眼镜通过现实世界错综复杂的表面现象看清本质。

数学是为了人类自身

的生存而发展出的能力

自然界是复杂而充满未知的。我们周围的环境变化莫测：什么时候会被袭击，什么时候去捕猎，遇到危险怎样找到最快的路径逃跑？哪里最有可能找到食物？

其实我们无时无刻都在用数学计算，只不过有时是不自知的。比如你在开车的时候，大脑就进行了非常复杂的数学计算。我们用数学来预测自己可能会遇到什么，再通过跟现实的碰撞，不停的修正，重新预测。

数学的运算模式可以帮助我们在物理世界活下来，但这并不意味着发生在我们脑海里的计算一直是对的。

基思•斯坦诺维奇与其长期合作者理查德•韦斯特提出了著名的“双系统理论”：

1、系统1就像大脑的自动反应模式，系统1的运行是无意识且快速的，不怎么费脑力，没有感觉，完全处于主控制状态。

2、系统2将注意力转到需要费脑力的大脑活动上来，例如复杂的计算，理性思考，系统2的运行通常与行为、选择和专注等主观体验相关联。

人大部分时间都在使用系统1思考，很少使用系统2思考。

萧伯纳说：大多数人，每年最多思考两三次。

300年前，在著名的南海泡沫事件中，人类有史以来最聪明的天才之一，牛顿，亏掉了两万英镑，据说相当于现在的一亿美金。

牛顿曾因而感叹：“我能算准天体的运行，却无法预测人类的疯狂。”

数学锻炼的就是用系统2思考的能力，用理性来审视世界。

查理•芒格说：

如果你没有把这些基本的，但有些不那么自然的基础数学概率方法变成你生活的一部分，那么在漫长人生中，你们将会像一个踢屁股比赛中的独腿人。

让我们来做一道题感受一下：

假设有一个女性叫琳达（Linda），31岁，单身，一位直率又聪明的女性，主修哲学。在学生时代，他对歧视问题和社会公正问题较为关心，还参加了反核示威游行。

请你根据这些情况，评估一下对琳达的种种描述之中，各自的可能性大小，并给排个名：

1、琳达是个小学老师

2、琳达在书店工作，她还在学瑜伽

3、琳达积极参加女权运动

4、琳达是妇女选民联盟成员

5、琳达是银行出纳

6、琳达是保险推销员

7、琳达是银行出纳，还积极参与女权运动。

我对你的具体排序并不太感兴趣，我关心的是以下两个选项是如何排列的：

（5）琳达是银行出纳

（7）琳达是银行出纳，还积极参与女权运动

实验结果是：几乎所有受试者都认为“琳达是银行出纳，还积极参与女权运动”的可能性比“琳达是个银行出纳员”要高。

对于任何概率，同等情况下条件越多概率越小。他们都忽略了概率中集合论的基本问题：两个集的交集不可能大于其中任何一个集。

这个就是著名的“琳达问题”，如果你答错了，也不要自责，斯坦福大学决策科学专业的博士研究生，也有85%的人答错。

再来一题（来自《黑天鹅》）：

塔勒布在投资研讨会说：“我相信下个星期市场略微上涨的概率很高，上涨概率大概70%。”但他却大量卖空标准普尔500指数期货，赌市场会下跌。

他的意见是：市场上涨的可能性比较高（我看好后市），但最好是卖空（我看坏结果），因为万一市场下跌，它可能跌幅很大。

分析如下：假使下个星期市场有70%的概率上涨，30%的概率下跌。但是如果上涨只会涨1%，下跌则可能跌10%。未来预期结果是：70%×1%+30%×（-10%）=-2.3%，因此应该赌跌，卖空股票盈利的机会更大。

如芒格所言，巴菲特每天做的，都是算这个简单数学问题。与其说是一种数学能力，不如说是一种思维模式。知道容易，做到极难。

概率有时候显得“反直觉”。

坚信概率，坚持按照优势概率下注，哪怕违反直觉，哪怕屡屡受挫也不更改人生下注的原则，这就是赢家的秘密。

数学教会我们的一个基本道理：用理性战胜本能！

克莱因说：数学是一种理性的精神，使人类的思维得以运用到最完美的程度。

旧石器时代的智人学会了利用石头工具，轴心时代的新人类学会了一种理性工具。数学工具就好比旧石器时代的石头工具。

有一次，我在网上看到一个问题大概是“有哪些让你感叹「写出这种句子的人，我十辈子都追不上了」的句子？”。

我想起了约翰·纳什的那句话：

“从精神病人回归为一个理性人的快乐，和身体有病然后恢复健康的快乐还是不能相比的。”

数学其实很简单

冯•诺依曼说：

“如果有人不相信数学是简单的,那是因为他们没有意识到人生有多复杂”

美剧《疑犯追踪》中有一位学生问芬奇:”学这些东西有什么用？我们什么时候会用到它？”

芬奇答道：

π，圆周长与其直径之比，这是开始，后面一直有，无穷无尽，永不重复，就是说在这串数字中，包含每种可能的组合，你的生日，储物柜密码，你的社保号码，都在其中某处，如果把这些数字转化为字母，就能得到所有的单词无数种组合。

你婴儿发出的第一声音节，你心上人的名字，你一辈子从始至终的故事，我们做过或说过的每件事，宇宙中所有无限的可能，都在这个简单的圆中，用这些信息做什么，它有什么用，取决于你们……

愿你在被数学困扰的日子里能常常想起本文。