英国研究生算不出7×9，我为何笑不出来？

文 | 张释文

授权自公号：埃尔特

我是一个中国学校的学渣。不是谦虚，是官方认证的。我在国内上中学的时候，150分的数学考试，最低考过27分。

27分大家知道是什么概念吗？我们那时候考试用的是答题卡，27分就相当于把这个答题卡放到地上，然后踩两脚，把鞋印放到机器里——估计这样出来的分数也不止27分。

我考27分那次，是我们班的倒数第三名。还有两个比我更差的，我们三个人现在还是很好的朋友。那两个人，倒数第二的考了26分，我以一分险胜。他现在在美国一个世界500强的公司担任副总裁级的高管。考倒数第一的那个人考了9分，9分啊，如果我是两个鞋印，他就只能是大半个鞋印了。这个人后来考上了英国的牛津大学，现在是全球知名的经济学家。

所以，如果孩子现在数学成绩不好，我们不用太焦虑，它代表不了什么，既不代表孩子不聪明，也不代表孩子学习能力不好，有一种可能，就是孩子所接受的数学教育，有问题。

别人都用计算器，只有我用草稿纸

先和大家分享我的一个故事。

那是我在英国读研究生的时候，刚入学没多久，老师在黑板上讲一道题，有一个7×9的算式，我在下面随口答了一句63，结果引来全班一片惊叹声。包括老师在内都用特别崇拜的眼光看着我，仿佛看到数学之神了。

英国一直没有乘法表和乘法口诀。2015年，英国前首相卡梅伦和教育部长摩根两个人曾经想过在中小学生中推广乘法表和乘法口诀，结果遭到了媒体和学生家长的一致反对。

有一次卡梅伦在演讲的时候，突然有个人站起来问他：“8×9等于多少？”卡梅伦当时张口结舌，目瞪口呆，因为他不知道8×9等于几。大家想想，一个英国的首相连8×9都算不出来。而我因为很快算出了7×9＝63，于是就第一次当了数学的学霸。

特别巧，没过几天我们就有一个测验，我是从来没有如此期待过数学考试，十多年来从来没有当过数学的好学生，终于有这个机会了，尤其还是在国外，终于有了为国争光的机会。

到了考试那一天，老师把考题发下来，然后我发现一个特别奇怪的事，我所有的同学第一个动作就是从书包里拿出科学计算器，当时我就特别懵，因为我在国内上学的时候，计算器是不能在考试中用的。但是在英国学校里，计算器是一个必备工具。

所以我眼睁睁的看他们从书包里拿出计算器，而全班只有我从书包里拿出来一叠稿纸。

最后的结果，可想而知，全班只有我没有答完题目，因为别人都是只要知道方法了，他们就可以用计算器非常快的算出结果，而我把大量的时间都浪费在了计算过程上。

学数学，应该像玩游戏、看电影

于是我开始反思，数学到底学什么？我们为什么要学数学？数学真的跟现实生活息息相关吗？我们学数学到底学的是什么？

大家都说中国的数学课程比国外的难很多，中国的基础教育扎实，中国学生的数学可以碾压国外学生。但我反思的结论是：我们数学课的问题不在于难度，而在于我们的数学课堂上压根就没有数学。

为什么国外学校可以容忍我们认为的特别低级的运算无能，但是他们却依然能够培养出那么多优秀的数学家？我们学数学究竟是学一种运算技巧，还是学一种数学思维？我反思的结论是：数学应该是一场游戏。

我们把数学公式背得很熟练，把几何原理背得很熟练，然后以此不断地做各种各样的题，这就相当于我们玩游戏的时候，不让你体验游戏的过程，只告诉你，摁前进，摁五下，然后跳，往左边走，然后打，最后到了关卡……你记住上上下下，左右左右，ABBA，你把这些都记住，然后一遍一遍去训练，就可以完成任务。

大家觉得这样的游戏还有意思吗？这还是游戏吗？已经知道了所有公式，即使运用得再熟练，也无助于我们体验游戏的精髓。我们需要具备的，是独立的思考、有创造力的思考，而不是“被训练”。就如高斯所说：“我们需要的是想法，而不是符号。”

学数学，还应该像看电影、看书。比如，我们看《西游记》，不告诉你唐僧为什么取经，他经历了什么事情，就告诉你唐僧经过了九九八十一难，最后取回了真经，你要记住这八十一难都是什么，这个顺序还不能乱，最后考试的时候，你要把每一难的名字答上去，就算通过了。

这样的阅读是正确的吗？如果这样看书是不对的，为什么这样学数学就是对的呢？

巧解数学更考验创造力

既然数学是一种游戏，那么，我们完全可以在想象的世界里去制定规则，考验自己的创造力。

我们举一道“鸡兔同笼”题，相信所有的孩子都被考过这道题：

“笼子里有鸡和兔若干只， 笼子里有25个头和70只脚。问：兔子和鸡各有多少只？”

我不知道大家是怎么做的题，我就记得我学这道题时，是在第一次学一元一次方程式，老师告诉我标准答案是：

我们假设兔的数量是 X： 

4X＋2×（25－X）=70

X＝10

兔子＝10（只）

鸡＝25－10＝15（只）

这么做对不对呢？肯定是对的。那这道题这么做好玩吗？肯定不好玩。

“鸡兔同笼”其实有特别多的证法，我给大家举一个特别好玩的例子。

你想象一个世界，这一笼子的兔子和鸡就在这个想象的世界里，你站在这个笼子前面，一声令下，所有的动物都抬起一只脚，这个时候还有多少只动物站着？

70－25＝45只，还有45只脚站着，你再一声令下，所有动物又都抬起一直脚站着，这时候还有45－25＝20只脚站着，但是鸡已经一屁股坐地上了，因为鸡只有两只脚全抬起来了，那站着的全是兔子，这20只脚全是兔子的，所以兔子有10只，鸡就是15只。

这样解这道题就好玩。

这道题还有很多种解法，我们还有一种解法：

假设鸡也有四只脚，那25个动物里面应该有100只脚，那为什么只有70只脚呢？因为有30个（100－70＝30）翅膀没有算做脚嘛！

那30个翅膀肯定就是鸡的了，所以就是15只鸡。

我们再举个例子。这是一个矩形，就是一个长方形，长方形里面有一个三角形，问题就是：这个绿色的三角形面积和旁边蓝色三角形面积的比是多少？

正常来说我们的标准答案是：

三角形的面积＝1／2×底×高

矩形面积＝底×高

这么一算，矩形内三角形内和三角形外的面积比是1：1

这么解对不对呢？肯定对！那这么解好不好玩呢？肯定不好玩。

我们来说另外一种解法，还是放到我们想象的世界里：

把它想象成一张纸，我们从三角形顶点向下画一条线，把它撕开，它变成了两个方形。

每一个方形都被对角线分割成了一模一样的两个部分，也就是每一个方形里面绿色和蓝色部分的面积都是一样的，他们合起来的面积也是一样的，也是1：1。

我们可以不知道那些公式、定理，但在想象的世界里，把这些东西做得很有意思。这就是数学的意义，这就是数学训练我们的真正的目的——不是训练什么计算能力，而是训练一种数学思维。

从数学角度来说

减肥是不可能的

那么，什么是“数学思维”呢？

百度对数学思维的概念是这样：数学思维是数学的思考问题和解决问题的思考形式，也就是能够用数学的观点去思考问题和解决问题的能力，比如转化与划归、从一般到特殊、特殊到一般、函数/映射的思想等等。

说得对，但不好懂。我怎么理解数学思维的呢？数学思维就是游戏思维，就是穷尽你的想象力去创造一个世界，然后用严谨的论证和逻辑推理去得到一个答案，是一种高度抽象并解决问题的能力。

数学思维给你的是重新看世界的一双眼睛，看这个世界的另外一种眼光。有的时候它可能跟我们对这个世界的直觉理解会比较大的的区别。

我举个例子——我们知道，自然数、奇数、偶数。

1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12…… 自然数

2，4，6，8，10，12，14，16，18，20…… 偶数

1，3，5，7，9，11，13，15，17，19…… 奇数

但大家觉得，自然数、偶数和奇数这三种数，哪个数的数目多？

我们从直觉上感觉，偶数和奇数组合成了自然数，自然数自然比它们多，但是从数学角度来说，它们三个数是一样多的，因为他们三个的数目都是无穷。

我们再举个例子。一个屋子里有23个人，他们有两个人的生日是同一天的可能性大不大？

直觉来说，我们出去坐公交车、去机场等经常会碰见很多人，但我们都不会觉得在这么多人里面会有两个人的生日一样。但从数学的角度来说，在23个人的这个人群里，有两个人的生日是同月同日的概率超过50%。

为什么？因为我们把每一个人的生日和另外22个人作对比，那它就是有253次对比的机会，在这253次对比中出现相同的概率是非常高的，这个被称为“生日悖论”。在计算机里面呢，有一种专门破解密码的方式叫做生日攻击，它的原理就是从生日悖论来的。

我再举个悖论例子——减肥，从某种数学的角度来说，减肥这个事是不可能的。因为想要减掉10斤，首先得减掉5斤，那想减掉5斤，就得先减掉2.5斤，想要减掉2.5斤，就先得减掉1.25斤。这个是无穷的对折，但人无法减掉一个无穷的数，所以减肥是不可能的。

就像龟兔赛跑。只要乌龟先跑，兔子就永远都追不上。为什么？因为兔子永远要到达乌龟之前到达的那一个点，那兔子只要到达那一个点，那乌龟就又往前移动了，所以兔子永远都无法追上乌龟。

我们知道这个在现实生活中是不可能的，但大家想想，这一个一个的著名“悖论”，就是数学家在玩的一个一个游戏。如果我们学数学是希望“有用”，那我告诉大家，你只要学会加减法，会用计算器就可以了。

但如果我把每一个数字都看成游戏中的一个元素，忘掉所有的公式和定理，用自己愿意、喜欢的方法去求证问题，然后不断试错，我们就能锻炼起来数学思维。

玩真正的游戏对于提升数学思维也大有裨益，比如象棋、围棋、桌游。我前两天亲眼见到了一个十岁的孩子在玩数学推理的桌游，名字叫“达芬奇密码”，把两个二十八九岁、有硕士学位的成年人打得大败。

而如果，我们要强调数学到底在我们现实中有什么意义，那可以说，数学思维让我们有更理性的思考，更有逻辑的分析。能够用另外一种眼光来看这个世界。最起码，它能让我们少上一些当，能让我们看穿一些初级骗局。

举个例子，在雷锋日记里有一段话说：我连过年所放的假都没有休息。我去捡大粪，初一初二那两天我一共捡大粪六百来斤。其实这是一道数学题，一共捡大粪六百多斤，两天捡大粪六百多斤，一天就是一百五十公斤。一百五十公斤的粪便，约等于一千四百坨。

我们假设雷锋同志从早上九点出门，晚上五点回来，这中间不吃不喝不停的劳动。平均每小时捡粪一百七十五坨，每分钟2.9坨。

我们知道那是大年初一初二，他在抚顺，天特别冷，粪便应该都冻在地上很难弄的，我们不去计算铲下来需要多少时间，把所有时间都忽略掉。平均每二十秒就要捡起一坨，相当于他每一步都能捡到。

恰如我曾看过的一篇文章里所写的：“雷锋同志，你哪里是在捡粪呀，你分明就是在粪坑里呀。”

张释文，埃尔特教育创始人，运营有公号埃尔特（altschool-edu），我们已获其授权，未经许可，不得转载。欢迎转发到朋友圈。